Calcular as integrais.
\int_{1}^{2} \frac{5 x^{3}+7 x^{2}-5 x+2}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{5 x^{3}+7 x^{2}-5 x+2}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas: os limites de integração são 1 (inferior) e 2 (superior); o integrando é a função racional \dfrac{5x^{3}+7x^{2}-5x+2}{x^{2}}. A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando dividindo cada termo do numerador por x^{2}. Isso deixa a integral mais simples para integrar termo a termo. Fazendo a divisão termo a termo:
\frac{5x^{3}}{x^{2}}=5x,\qquad \frac{7x^{2}}{x^{2}}=7,\qquad \frac{-5x}{x^{2}}=-5x^{-1},\qquad \frac{2}{x^{2}}=2x^{-2}.
Portanto
\frac{5 x^{3}+7 x^{2}-5 x+2}{x^{2}}=5x+7-5x^{-1}+2x^{-2}.
Agora a integral vira
\int_{1}^{2}\bigl(5x+7-5x^{-1}+2x^{-2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Vamos lembrar as fórmulas básicas de integração que vamos usar (vou explicar cada pedaço):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq -1).
Aqui n é o expoente de x. A fórmula diz: para integrar uma potência de x, aumente o expoente em 1 e divida pelo novo expoente.
E para o caso n=-1 (ou seja, \int x^{-1}dx) a fórmula é diferente:
\int \frac{1}{x}\,dx=\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C.
Essas duas regras são suficientes para integrar cada termo da nossa soma, porque temos potências de x: x^{1}, x^{0}, x^{-1} e x^{-2}.

Passo 4

Integramos termo a termo, aplicando as fórmulas acima.
  • Para \int 5x\,dx: trate 5 como constante e use a regra da potência com n=1:
\int 5x\,dx=5\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{5}{2}x^{2}.
  • Para \int 7\,dx: é uma constante, então
\int 7\,dx=7x.
  • Para \int -5x^{-1}\,dx: use a regra do logaritmo (caso n=-1):
\int -5x^{-1}\,dx=-5\ln|x|.
  • Para \int 2x^{-2}\,dx: aplique a regra da potência com n=-2:
\int 2x^{-2}\,dx=2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=-2x^{-1}=-\frac{2}{x}.

Passo 5

Somando todas as partes obtemos uma primitiva (antiderivada) F(x):
F(x)=\frac{5}{2}x^{2}+7x-5\ln|x|-\frac{2}{x}+C.
Para a integral definida entre 1 e 2 vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: o valor da integral é F(2)-F(1).

Passo 6

Calculamos F(2). Substituindo x=2:
F(2)=\frac{5}{2}\cdot 2^{2}+7\cdot 2-5\ln|2|-\frac{2}{2}.
Agora os números:
\frac{5}{2}\cdot 2^{2}=\frac{5}{2}\cdot 4=10,
7\cdot 2=14,
-\frac{2}{2}=-1.
Somando as partes numéricas: 10+14-1=23. Então
F(2)=23-5\ln 2.

Passo 7

Calculamos F(1). Substituindo x=1:
F(1)=\frac{5}{2}\cdot 1^{2}+7\cdot 1-5\ln|1|-\frac{2}{1}.
Avaliações:
\frac{5}{2}\cdot 1^{2}=\frac{5}{2},
7\cdot 1=7,
\ln|1|=0,
-\frac{2}{1}=-2.
Somando as partes numéricas: \frac{5}{2}+7-2=\frac{5}{2}+5=\frac{15}{2}=7{,}5. Logo
F(1)=\frac{15}{2}.

Passo 8

Subtraímos F(2)-F(1):
F(2)-F(1)=\bigl(23-5\ln 2\bigr)-\frac{15}{2}.
Calculando a parte numérica:
23-\frac{15}{2}=\frac{46}{2}-\frac{15}{2}=\frac{31}{2}.
Portanto o resultado final é
\frac{31}{2}-5\ln 2.

Resposta

\dfrac{31}{2}-5\ln 2

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