Calcular as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: os limites de integração são
(inferior) e
(superior); o integrando é a função racional
. A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Primeiro simplificamos o integrando dividindo cada termo do numerador por
. Isso deixa a integral mais simples para integrar termo a termo. Fazendo a divisão termo a termo:
Portanto
Agora a integral vira
Passo 3
Vamos lembrar as fórmulas básicas de integração que vamos usar (vou explicar cada pedaço):
Aqui
é o expoente de
. A fórmula diz: para integrar uma potência de
, aumente o expoente em
e divida pelo novo expoente.
E para o caso (ou seja,
) a fórmula é diferente:
E para o caso
Essas duas regras são suficientes para integrar cada termo da nossa soma, porque temos potências de
:
,
,
e
.
Passo 4
Integramos termo a termo, aplicando as fórmulas acima.
- Para
: trate como constante e use a regra da potência com :
- Para
: é uma constante, então
- Para
: use a regra do logaritmo (caso ):
- Para
: aplique a regra da potência com :
Passo 5
Somando todas as partes obtemos uma primitiva (antiderivada)
:
Para a integral definida entre
e
vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: o valor da integral é
.
Passo 6
Calculamos
. Substituindo
:
Agora os números:
Somando as partes numéricas:
. Então
Passo 7
Calculamos
. Substituindo
:
Avaliações:
Somando as partes numéricas:
Logo
Passo 8
Subtraímos
:
Calculando a parte numérica:
Portanto o resultado final é