Calcular as integrais:
integral 8raiz4 x-1 d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral indefinida integral 8raiz4x - 1 , dx. O tema é integração por substituição e uso da regra de potência para integrar expressões na forma u^n.

Passo 2

Para simplificar a raiz, fazemos a substituição u = 4x - 1. Isso gera du = 4,dx, logo dx = du4. A ideia da substituição é trocar a variável dentro da raiz por algo mais simples.
Substituindo na integral, temos
integral 8raiz4x - 1 , dx = integral 8raizu cdot du4 = 2 integral u^-1/2 , du

Passo 3

Agora usamos a regra de potência na integração: para n neq -1 vale integral u^n ,du = u^n+1n+1 + C. Aqui n = -tfrac12, então
2 integral u^-1/2 , du = 2 cdot u^1/2tfrac12 + C = 4 u^1/2 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original substituindo u por 4x - 1, completando a antiderivada em x.

Resposta

4raiz4x - 1 + C

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