Ultilizando o teste da série alternada indique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sum (-1)^n n^2n^3+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^nn^2n^3+1
usando o teste da série alternada (ou teste de Leibniz). Para aplicar esse teste, precisamos mostrar que, definindo
an=n^2n^3+1,
temos (i) an>0, (ii) an decrescente a partir de algum n e (iii) limntoinftyan=0.

Passo 2

Mostramos que limntoinftyan=0. Como para grandes n vale
an=n^2n^3+1simn^2n^3=1n,
seguimos que
limntoinftyan=0

Passo 3

Verificamos a monotonicidade de an. Defina f(x)=x^2/(x^3+1) para x>0. Calculando a derivada,
f'(x) =2x(x^3+1)-x^2cdot3x^2(x^3+1)^2 =-x^4+2x(x^3+1)^2 =x(-x^3+2)(x^3+1)^2
Para x>raiz[3]2 temos -x^3+2<0, logo f'(x)<0. Assim, para todo n>=2, an=f(n) é decrescente.

Passo 4

Como an>0, an é decrescente a partir de n=2 e limntoinftyan=0, pelo teste de Leibniz a série
sumn=1^infty(-1)^nan
converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^nn^2n^3+1 converge pelo teste da série alternada (convergência condicional).

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