Ultilizando o teste da série alternada indique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da série alternada (ou teste de Leibniz). Para aplicar esse teste, precisamos mostrar que, definindo
temos (i)
, (ii)
decrescente a partir de algum
e (iii)
.
Passo 2
Mostramos que
. Como para grandes
vale
seguimos que
Passo 3
Verificamos a monotonicidade de
. Defina
para
. Calculando a derivada,
Para
temos
, logo
. Assim, para todo
,
é decrescente.
Passo 4
Como
,
é decrescente a partir de
e
, pelo teste de Leibniz a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da série alternada (convergência condicional).