Calcular as integrais :
integralln (1 / 2)^0 e^x(1+e^x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralln(1/2)^0e^xl(1+e^xr)^3,dx
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma substituição do tipo u=1+e^x, já que du=e^xdx aparece no numerador, e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + e^x, du = e^x,dx
Quando x=ln(1/2) temos e^x=1/2 e, portanto, u=1+tfrac12=tfrac32.
Quando x=0 temos e^x=1 e assim u=1+1=2.

Passo 3

Em u a integral fica
integralu=tfrac32^2!u^-3,du,
cuja primitiva é
integral u^-3,du = -12,u^-2

Passo 4

Aplicando os limites de integração, obtemos
-12l[u^-2r]u=tfrac32^u=2 = -12l(tfrac12^2-tfrac1(tfrac32)^2r) = -12l(tfrac14-tfrac49r) = -12l(-tfrac736r) = 772

Resposta

772

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