Derive implicitamente e encontre fracd yd x :
sin (x y)+x^2=y

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
sin(xy) + x^2 = y
e pede dydx.
Aqui vamos usar derivada implícita, aplicando a regra da cadeia na função sin(xy), a regra do produto em xy e a derivada de x^2.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, temos
ddxl[sin(xy)r] ;+;ddxl[x^2r] ;=;ddx[,y,]
Pela regra da cadeia e do produto,
ddxl[sin(xy)r] =cos(xy)cdotddx[,x,y,] =cos(xy)l(y + x,y'r),
onde escrevemos y'=dydx. Também
ddx[,x^2r]=2x, ddx[,y,]=y'

Passo 3

Substituindo na derivada implícita, obtemos
cos(xy)l(y + x,y'r) ;+;2x ;=;y'

Passo 4

Agora agrupamos todos os termos que contêm y' de um lado:
cos(xy),x,y' ;-;y' ;=;-,cos(xy),y ;-;2x
Fatorando y':
y'l(xcos(xy) - 1r) = -l(cos(xy),y + 2xr)

Passo 5

Dividindo ambos os lados por l(xcos(xy)-1r), chega-se a
y' = -cos(xy),y + 2x,xcos(xy)-1, = cos(xy),y + 2x,1 - xcos(xy),

Resposta

dydx = -cos(xy),y + 2xxcos(xy)-1 ;=; cos(xy),y + 2x1 - xcos(xy)

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