Derive implicitamente e encontre fracd yd x :
x^2+y^2+ln (y)=10

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos dfracdydx a partir da relação implícita
x^2+y^2+ln(y)=10
O conteúdo é diferenciação implícita: vamos derivar cada termo em relação a x, lembrando de usar a regra da cadeia para os termos que dependem de y.

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a x:
  • dfracddxl(x^2r)=2x.
  • dfracddxl(y^2r)=2y,dfracdydx.
  • dfracddxl(ln(y)r)=dfrac1y,dfracdydx.
  • dfracddx(10)=0.
Assim,
2x ;+;2y,dydx;+;1y,dydx;=;0

Passo 3

Agrupando os termos com dfracdydx,
2x ;+;l(2y+tfrac1yr)dydx=0

Passo 4

Isolando dfracdydx,
l(2y+tfrac1yr)dydx=-2x Longrightarrow dydx=-2x2y+tfrac1y
Para simplificar, note que
2y+1y=2y^2+1y Longrightarrow dydx=-2x2y^2+1y =-2x,y2y^2+1

Resposta

dydx=-2x,y2y^2+1

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