Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
\int \frac{3}{x^{2}-4 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{3}{x^{2}-4x+1}\,dx
usando o método da substituição. Vamos completar o quadrado no denominador e usar a fórmula para integrais da forma \int du/(u^{2}-a^{2}).

Passo 2

Reescrevemos o denominador completando o quadrado:
x^{2}-4x+1 = (x-2)^{2} -4 +1 = (x-2)^{2} -3.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x-2,\quad du = dx,
de modo que a integral se torna
\int \frac{3}{u^{2}-3}\,du.

Passo 4

Usamos a fórmula
\int \frac{du}{u^{2}-a^{2}} = \frac{1}{2a}\,\ln\Bigl|\frac{u-a}{u+a}\Bigr| + C,
onde a=\sqrt{3}. Assim,
\int \frac{3}{u^{2}-3}\,du = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} \ln\Bigl|\frac{u-\sqrt{3}}{u+\sqrt{3}}\Bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u=x-2 e
3\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a integral original é
\frac{\sqrt{3}}{2}\, \ln\Bigl|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}}\Bigr| + C.

Resposta

\frac{\sqrt{3}}{2}\, \ln\Bigl|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}}\Bigr| + C.

Exercícios relacionados