Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
\int\left(2 x^{2}+2 x-x\right)^{10}(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(2x^{2}+2x - x\bigr)^{10}\,(2x+1)\,dx
usando substituição. O conteúdo aqui seria a técnica de mudança de variável u = f(x) tal que du apareça no integrando.

Passo 2

Primeiro simplificamos o polinômio dentro dos parênteses:
2x^{2}+2x - x = 2x^{2} + x.
Logo o integral vira
\int (2x^{2} + x)^{10}\,(2x+1)\,dx.

Passo 3

Tentamos a substituição natural
u = 2x^{2} + x, \quad du = (4x+1)\,dx.
Mas no integrando temos apenas o fator (2x+1)\,dx, e não (4x+1)\,dx. Assim
(2x+1)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(4x+2\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\bigl((4x+1)+1\bigr)\,dx
não gera um du puro, pois sobra um termo sem correspondência.

Passo 4

Como não conseguimos expressar todo o diferencial dx em termos de du — falta um pedaço — não há como concluir a primitiva apenas por essa substituição direta. Fica um termo residual impossível de eliminar por mudança de variável simples.

Resposta

Não é possível calcular essa integral por substituição direta, pois o fator externo (2x+1)\,dx não coincide com o diferencial da potência (2x^{2}+x). Provavelmente há um erro de digitação no enunciado (faltaria um fator 4x+1 em vez de 2x+1).

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