Calcular as integrais seguintes:
integral-2^-1 5 x+2x^3-5 x^2+4 x d x

Passo 1

Estamos calculando a integral definida
integral-2^-15x+2x^3-5x^2+4x,dx
Isso é uma integral de função racional: vamos fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^3-5x^2+4x = x(x^2-5x+4)=x(x-1)(x-4)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
5x+2x(x-1)(x-4)=Ax+Bx-1+Cx-4
Multiplicando por x(x-1)(x-4) e igualando coeficientes, obtemos
A=tfrac12, B=-tfrac73, C=tfrac116

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integralAx,dx = Aln|x|, integralBx-1,dx = Bln|x-1|, integralCx-4,dx = Cln|x-4|
Então a primitiva é
F(x)=tfrac12ln|x|-tfrac73ln|x-1|+tfrac116ln|x-4|

Passo 5

Avaliamo-la de x=-2 a x=-1:
  • Para x=-1: |x|=1,|x-1|=2,|x-4|=5
F(-1)= -tfrac73ln2 + tfrac116ln5
- Para x=-2: |x|=2,|x-1|=3,|x-4|=6
F(-2)= tfrac12ln2 -tfrac73ln3 + tfrac116ln6
Subtraindo F(-1)-F(-2) e simplificando combinações de ln2,ln3,ln5 obtemos a forma final.

Passo 6

Os cálculos de combinação levam a
I=integral-2^-15x+2x^3-5x^2+4x,dx = tfrac12ln3 - tfrac143ln2 + tfrac116ln5

Resposta

tfrac12ln3 - tfrac143ln2 + tfrac116ln5

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