Calcular as integrais seguintes:
integral1^2 1x(x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral1^2 1x(x+1)^2,dx. O conteúdo envolve integrais de funções racionais e vamos precisar usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição parcial: supomos
1x(x+1)^2 = Ax + Bx+1 + C(x+1)^2
Multiplicando ambos os lados por x(x+1)^2 e igualando coeficientes, obtemos
1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx
Daí saem as equações:
A + B = 0, 2A + B + C = 0, A = 1
Resolvendo, achamos A=1, B=-1, C=-1.

Passo 3

Com isso a integral vira
integral1^21x(x+1)^2,dx = integral1^2l(1x - 1x+1 - 1(x+1)^2r)dx

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral1x,dx = ln x, integral1x+1,dx = ln(x+1), integral1(x+1)^2,dx = -1x+1
Logo uma primitiva é
F(x) = ln x - ln(x+1) + 1x+1

Passo 5

Fazendo a avaliação nos limites de 1 a 2:
F(2) - F(1) = l(ln2 - ln3 + tfrac13r) - l(0 - ln2 + tfrac12r) = 2ln2 - ln3 - tfrac16 = lnl(43r) - 16

Resposta

ln43 - 16

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