Calcular as integrais seguintes :
integral-1^2(6 x+sen x-1)(2-x+3 x^2-cos x)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral-1^2(6x+sin x-1)(2 - x + 3x^2 - cos x)^4,dx. O conteúdo aqui é a técnica de substituição em integrais, reconhecendo a derivada de uma parte interna.

Passo 2

Observe que a função interna u(x)=2 - x + 3x^2 - cos x tem derivada u'(x)= -1 + 6x + sin x = 6x + sin x - 1, que aparece multiplicando (2 - x + 3x^2 - cos x)^4. Então fazemos a substituição u = 2 - x + 3x^2 - cos x, o que implica du = (6x + sin x - 1),dx.

Passo 3

Substituindo na integral temos integral-1^2(6x+sin x-1)(2 - x + 3x^2 - cos x)^4,dx = integral u^4,du. Pela regra de potência para integrais, integral u^n,du = u^n+1n+1 + C, obtemos u^55 + C.

Passo 4

Como é uma integral definida de x=-1 a x=2, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: I = l[tfracu^55r]x=-1^x=2

Passo 5

Basta agora calcular os limites: u(2)=2-2+3cdot2^2-cos2=12-cos2 e u(-1)=2+1+3cdot1-cos(-1)=6-cos1. Logo
I = (12-cos2)^5 - (6-cos1)^55

Resposta

(12-cos2)^5 - (6-cos1)^55

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