Calcular as integrais seguintes:
integral0^1 13+exp (-x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^1 13+e^-x,dx. O conteúdo principal aqui é integração de funções envolvendo exponenciais, e vamos precisar usar uma substituição que simplifique o termo e^-x e depois aplicar frações parciais.

Passo 2

Vamos usar a substituição t = e^-x. Então
$$dt = -e^{-x},dx = -t,dx \quad\ \implies\quad dx = -\frac{dt}{t}.
$$

Passo 3

Os limites em x mudam para t: quando x=0, t=e^0=1; quando x=1, t=e^-1. Substituindo na integral:
integral0^1 13+e^-x,dx = integralt=1^t=e^-1 13+t gl(-dttgr) = integrale^-1^1 dtt,(3+t)

Passo 4

Para integrar integral dtt(3+t), fazemos frações parciais. Procuramos A e B tais que
1t(3+t) = At + B3+t Multiplicando por t(3+t) vem
1 = A(3+t) + Bt = (A+B)t + 3A Comparando coeficientes, temos A+B=0 e 3A=1. Logo A=tfrac13 e B=-tfrac13. Assim:
1t(3+t) = 1/3t - 1/33+t

Passo 5

Integrando,
integral dtt(3+t) = 13integral dtt - 13integral dt3+t = 13l(ln|t| - ln|3+t|r) + C

Passo 6

Agora avaliamos de t=e^-1 até t=1:
integrale^-1^1 dtt(3+t) = 13l[lnt3+tr]t=e^-1^t=1 = 13l(ln14 - lne^-13+e^-1r)

Passo 7

Basta simplificar:
13l(-ln4 - ( -1 + ln(3+e^-1) )r) = 13l(1 - ln4 - ln(3+e^-1)r) = 13l(1 - lnl[4(3+e^-1)r]r)

Resposta

13l(1 - lnl[4l(3+e^-1r)r]r)

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