Calcular as integrais seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
. O conteúdo principal aqui é integração de funções envolvendo exponenciais, e vamos precisar usar uma substituição que simplifique o termo
e depois aplicar frações parciais.
Passo 2
Vamos usar a substituição
. Então
$$dt = -e^{-x},dx = -t,dx \quad\ \implies\quad dx = -\frac{dt}{t}.
$$
Passo 3
Os limites em
mudam para
: quando
,
; quando
,
. Substituindo na integral:
Passo 4
Para integrar
, fazemos frações parciais. Procuramos
e
tais que
Passo 5
Integrando,
Passo 6
Agora avaliamos de
até
:
Passo 7
Basta simplificar: