Calcular as integrais seguintes usando substituição :
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição e depois decomposição em frações parciais para facilitar a integral resultante.
Passo 2
Fazemos a substituição
. Assim,
e
. Os limites mudam de
para
e de
para
. Logo,
Passo 3
Para integrar
, fazemos a decomposição em frações parciais:
Resolvendo
$$\int_{1}^{e}\frac{du}{u(u+1)}
=\int_{1}^{e}\Bigl(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\Bigr)du.$$
Passo 4
Agora basta integrar termo a termo:
$$\int_{1}{e}\frac{1}{u}du-\int_{1}{e}\frac{1}{u+1}du
=[\ln u]_{1}{e}-[\ln(u+1)]_{1}{e}.$$
Passo 5
Avaliação dos limites:
Passo 6
Subtraindo,
Resposta
1+\ln!\bigl(\tfrac{2}{e+1}\bigr)