Calcular as integrais seguintes usando substituição :
integral0^1 1exp (x)+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^11e^x+1,dx usando substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição e depois decomposição em frações parciais para facilitar a integral resultante.

Passo 2

Fazemos a substituição u = e^x. Assim, du = e^x,dx e dx = duu. Os limites mudam de x=0 para u=1 e de x=1 para u=e. Logo,
integral0^11e^x+1,dx =integral1^e1u+1cdotduu =integral1^eduu(u+1)

Passo 3

Para integrar 1u(u+1), fazemos a decomposição em frações parciais:
1u(u+1)=Au+Bu+1
Resolvendo 1=A(u+1)+Bu, obtemos A=1 e B=-1. Portanto,
$$\int_{1}^{e}\frac{du}{u(u+1)}
=\int_{1}^{e}\Bigl(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\Bigr)du.$$

Passo 4

Agora basta integrar termo a termo:
$$\int_{1}{e}\frac{1}{u}du-\int_{1}{e}\frac{1}{u+1}du
=[\ln u]_{1}{e}-[\ln(u+1)]_{1}{e}.$$

Passo 5

Avaliação dos limites:
[ln u]1^e=ln e-ln1=1-0=1,
[ln(u+1)]1^e=ln(e+1)-ln2

Passo 6

Subtraindo,
1 - l(ln(e+1)-ln2r) =1 - ln(e+1)+ln2 =1+ln2-ln(e+1) =1+ln!l(tfrac2e+1r)

Resposta

1+\ln!\bigl(\tfrac{2}{e+1}\bigr)

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