Calcular as integrais seguintes:
integral1^2 sen(ln (x)) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral1^2 sin(ln x),dx. O conteúdo principal envolve integrais de funções compostas, então vamos usar substituição logarítmica seguida de integração por partes para resolver.

Passo 2

Fazendo a substituição t=ln x, temos x=e^t e dx=e^t,dt. Quando x=1, t=0; quando x=2, t=ln2. Logo
I=integral1^2sin(ln x),dx=integral0^ln2sin(t)e^t,dt

Passo 3

Para calcular integral e^tsin t,dt, aplicamos integração por partes duas vezes. Seja A=integral e^tsin t,dt.
Primeiro: A=e^tsin t-integral e^tcos t,dt
Segundo: integral e^tcos t,dt=e^tcos t+integral e^tsin t,dt=e^tcos t+A
Combinando, A=e^tsin t-(e^tcos t+A), logo 2A=e^t(sin t-cos t) e
A=12e^t(sin t-cos t)+C

Resposta

sin(ln(2)) - cos(ln(2)) + 12

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