Calcular as integrais seguintes:
integral0^pi / 2 sen xsen x+cos x d x e integral0^pi / 2 cos xcos x+sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais definidas
I1=integral0^pi/2sin xsin x+cos x,dx e I2=integral0^pi/2cos xsin x+cos x,dx.
O conteúdo aqui é propriedade de soma de integrais e simetria via mudança de variável.

Passo 2

Repare que
sin xsin x+cos x+cos xsin x+cos x=1
Então somando as duas integrais temos
$$I_1+I_2=\int_{0}^{\pi/2}1,dx=\frac{\pi}{2}.
$$

Passo 3

Para ver que I1=I2, faça a substituição u=tfracpi2-x em I1.
Como sin x=cos u, cos x=sin u e dx=-du, os limites trocam de 0→π/2 para π/2→0, e o sinal menos inverte os limites;
daí
I1=integral0^pi/2cos ucos u+sin u,du=I2

Passo 4

Já que I1+I2=tfracpi2 e I1=I2, cada uma vale metade de tfracpi2, isto é, tfracpi4.

Resposta

As duas integrais são iguais a pi/4.

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