Seja o seguinte vetor u(t)= dd t u, determine:
(a) d^2d t^2 u
(b) integral u d t
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Passo 1

Vamos resumir o que temos: o vetor é vec u(t) = (raiz t,; traizt^2+1,;1/raiz t). O conteúdo aqui é derivar e integrar funções vetor, o que a gente faz componente a componente usando regra do poder, regra do produto e, na integral, substituição.

Passo 2

Para achar dfracddtvec u(t), derivamos cada parte: a) raiz t = t^1/2 tfrac12t^-1/2=tfrac12raiz t. b) traizt^2+1 usa produto: 1cdotraizt^2+1+tcdottfrac12( t^2+1)^-1/2cdot2t =raizt^2+1+t^2raizt^2+1 = 2t^2+1raizt^2+1. c) t^-1/2 -tfrac12t^-3/2=-tfrac12t^3/2.

Passo 3

Para dfracd^2dt^2vec u(t), derivamos de novo cada componente de vec u'(t): a) de tfrac12t^-1/2 vem -tfrac14t^-3/2=-tfrac14t^3/2. b) de (2t^2+1)(t^2+1)^-1/2 usamos produto e cadeia: sai 4traizt^2+1 - (2t^2+1),t(t^2+1)^3/2 = t(2t^2+3)(t^2+1)^3/2 c) de -tfrac12t^-3/2 tfrac34t^-5/2=tfrac34t^5/2.

Passo 4

Para integralvec u(t),dt, integramos cada componente: a) integral t^1/2dt=tfrac23t^3/2. b) integral traizt^2+1,dt: com u=t^2+1 vem tfrac13(t^2+1)^3/2. c) integral t^-1/2dt=2t^1/2. Como é integral indefinida, soma-se um vetor constante vec C.

Resposta

a) dfracddtvec u(t)=l(tfrac12raiz t,,tfrac2t^2+1raizt^2+1,,-tfrac12t^3/2r)
b) dfracd^2dt^2vec u(t)=l(-tfrac14t^3/2,,tfract(2t^2+3)(t^2+1)^3/2,,tfrac34t^5/2r)
c) integralvec u(t),dt=l(tfrac23t^3/2,,tfrac13(t^2+1)^3/2,,2raiz tr)+vec C

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