Calcular as integrais seguintes:
integral0^1 exp (2 x)raizexp (2 x)+1 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de e^2xraize^2x+1,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, pois temos uma expressão dentro de raiz dependente de x e sua derivada aparece no numerador.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = e^2x+1. Então, derivando:
du = 2e^2x,dx Rightarrow e^2x,dx = du2

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração: quando x=0, u=e^0cdot2+1=2; quando x=1, u=e^2+1.
Reescrevendo a integral em u:
I = integralx=0^1 e^2xraize^2x+1,dx = integralu=2^e^2+1 1raizucdotdu2 = 12 integral2^e^2+1 u^-tfrac12,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência: a antiderivada de u^-1/2 é 2u^1/2. Assim,
12 integral u^-tfrac12,du = 12 cdot 2u^1/2 = u^1/2

Passo 5

Avaliaremos de u=2 até u=e^2+1:
I = l[u^1/2r]2^e^2+1 = raize^2+1 - raiz2

Resposta

raize^2+1 - raiz2

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