Nas integrais a seguir, podemos calcular seus respectivos valores utilizando uma integração por partes. Em cada uma delas, determine os candidatos a u e d v para que a utilização da referida técnica esteja correta. Após isso, escreva a fórmula da integração por partes com a sua escolha feita anteriormente.
integral x cossec^2 x d x

Passo 1

Estamos com a integral integral x,csc^2 x,dx. O conteúdo é integração por partes, que usa a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

De acordo com o critério LIATE (Logarítmico, Inverso, Álgebra, Trigonométrico, Exponencial), escolhemos u = x (polinômio) e dv = csc^2 x,dx. Assim, derivando u temos du = dx e integrando dv obtemos v = integral csc^2 x,dx = -cot x.

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes com essas escolhas, obtemos:

Passo 4

integral x,csc^2 x,dx = u,v - integral v,du = x(-cot x) - integral(-cot x),dx

Resposta

integral x,csc^2 x,dx = -xcot x + integral cot x,dx

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