4.9 Nas integrais a seguir, podemos calcular seus respectivos valores utilizando uma integração por partes. Em cada uma delas, determine os candidatos a u e d v para que a utilização da referida técnica esteja correta. Após isso, escreva a fórmula da integração por partes com a sua escolha feita anteriormente.
integral x cossec^2 x d x

Passo 1

O exercício pede para aplicar integração por partes na integral integral x,csc^2 x,dx, sabendo que essa técnica exige escolher funções u e dv de modo que du e v fiquem mais simples do que o original.

Passo 2

A técnica de integração por partes se baseia na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Precisamos então definir u e dv de modo conveniente.

Passo 3

Escolhemos
u = x, dv = csc^2 x,dx
Então derivando e integrando temos
du = dx, v = integral csc^2 x,dx = -cot x

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral x,csc^2 x,dx = u,v - integral v,du
com os nossos valores fica:
integral x,csc^2 x,dx = xl(-cot xr) - integrall(-cot xr),dx

Resposta

integral x,csc^2 x,dx = -xcot x - integral(-cot x),dx = -xcot x + integral cot x,dx

Exercícios relacionados