Calcular as integrais seguintes:
integral0^1 x e^-x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de x e^{-x}. O conteúdo envolvido é o método de integração por partes, e vamos precisar da fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Vamos escolher as funções para aplicar integração por partes: u = x e dv = e^-x ,dx. Assim, derivando e integrando, temos du = dx e o próximo passo é encontrar v integrando dv:
integral dv = integral e^-x dx
v = -e^-x.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral0^1 x e^-x dx = -xe^-x |0^1 - integral0^1 -e^-x dx = -xe^-x |0^1 + integral0^1 e^-x dx = -xe^-x |0^1 - e^-x |0^1.

Passo 4

Só falta avaliar o resultado no intervalo de 0 a 1. Vamos calcular o valor da antiderivada em x=1 e em x=0 e subtrair:
(-1e^-1 - e^-1) - (0e^-0 - e^-0) = -2e^-1 + 1 = 1 - 2e.

Resposta

1 - tfrac2e

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