Mostre que é divisível por 6 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que n(n^2 + 5) é divisível por 6. O tema é divisibilidade e vamos precisar provar que esse número é múltiplo de 2 e de 3, pois 6 = 2 cdot 3.

Passo 2

Para mostrar que é divisível por 2, usamos o conceito de paridade: um número é par se for múltiplo de 2. Se n for par, então n(n^2 + 5) é par porque tem fator n. Se n for ímpar, então n^2 é ímpar e n^2 + 5 é ímpar + 5 = par, logo n(n^2 + 5) também é par. Assim, o produto é sempre par e, portanto, divisível por 2.

Passo 3

Para mostrar que é divisível por 3, usamos as classes de resto mod 3. Se n equiv 0 pmod3, então n(n^2 + 5) é múltiplo de 3. Se n equiv 1 pmod3, então n^2 + 5 equiv 1 + 5 = 6 equiv 0 pmod3. Se n equiv 2 pmod3, então n^2 + 5 equiv 4 + 5 = 9 equiv 0 pmod3. Em todos os casos, o produto tem um fator múltiplo de 3, logo é divisível por 3.

Passo 4

Como n(n^2 + 5) é divisível por 2 e por 3, e 2 e 3 são primos entre si, concluímos que n(n^2 + 5) é divisível por 2 cdot 3 = 6.

Resposta

Para todo inteiro n, n(n^2 + 5) é divisível por 6.

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