Questão 3. (2,0 pontos)
Determine a área delimitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante do plano
.
Passo 1
A questão pede a área do domínio no primeiro quadrante limitado pelas curvas
e
. O assunto é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar: converter a equação cartesiana para polar, achar interseção das curvas, decidir quem é fronteira externa/interna e aplicar a fórmula de área polar.
Passo 2
Convertendo
para coordenadas polares, usamos
e
. Então
Passo 3
Para achar onde as duas curvas se encontram, igualamos
, o que leva a
e portanto
. Como estamos no primeiro quadrante,
varia de 0 a
. Em 0, ambas curvem passam por
; em
,
e
.
Passo 4
Comparando as curvas para
: vemos que
porque
. Logo, a fronteira interna é
e a externa é
. A área em coordenadas polares é dada por
Passo 5
Calculando:
Então
Passo 6
Usando integrais básicas:
,
, e
. Portanto
Resposta
A área pedida é
.