Questão 3. (2,0 pontos)

Determine a área delimitada pelas curvas x^2+y^2=2 x e r=1+cos (theta) no primeiro quadrante do plano x y.

Passo 1

A questão pede a área do domínio no primeiro quadrante limitado pelas curvas x^2+y^2=2x e r=1+costheta. O assunto é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar: converter a equação cartesiana para polar, achar interseção das curvas, decidir quem é fronteira externa/interna e aplicar a fórmula de área polar.

Passo 2

Convertendo x^2+y^2=2x para coordenadas polares, usamos x=rcostheta e y=rsintheta. Então
r^2=2rcostheta\nque dá r=2costheta (além de r=0, mas só interessa r=2costheta).

Passo 3

Para achar onde as duas curvas se encontram, igualamos 2costheta=1+costheta, o que leva a costheta=1 e portanto theta=0. Como estamos no primeiro quadrante, theta varia de 0 a pi/2. Em 0, ambas curvem passam por r=2; em pi/2, r=2costheta=0 e r=1+costheta=1.

Passo 4

Comparando as curvas para 0<=theta<=pi/2: vemos que 1+costheta>=2costheta porque 1>=costheta. Logo, a fronteira interna é r1=2costheta e a externa é r2=1+costheta. A área em coordenadas polares é dada por
A=12integraltheta=0^pi/2l(r2^2-r1^2r),dtheta

Passo 5

Calculando: r2^2-r1^2=(1+costheta)^2-(2costheta)^2=1+2costheta+cos^2theta-4cos^2theta=1+2costheta-3cos^2thetaEntão
A=12integral0^pi/2l(1+2costheta-3cos^2thetar)dtheta

Passo 6

Usando integrais básicas: integral0^pi/21,dtheta=pi/2, integral0^pi/22costheta,dtheta=2, e integral0^pi/2cos^2theta,dtheta=pi/4. Portanto
A=12l(pi2+2-3cdotpi4r)=12l(2-pi4r)=1-pi8

Resposta

A área pedida é 1-pi8.

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