Se
, mostre que
. Usando este fato, prove que a sequência
é monótona limitada, e portanto convergente.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, para qualquer número real
com
, vale a desigualdade
. Em seguida, usando esse fato, devemos provar que a sequência definida por
e
é monótona (mais precisamente, estritamente crescente) e bounded, o que garante sua convergência pelo teorema da convergência de sequências monotônicas.
Passo 2
Primeiro, provamos a parte
. Como
, podemos elevar ao quadrado sem inverter a desigualdade. Assim,
é equivalente a
Reescrevendo,
E isso ocorre sempre que
, exatamente nossa hipótese. Portanto, fica demonstrado que
quando
.
Passo 3
Agora, provamos
. Como ambos os lados são não-negativos, elevamos ao quadrado:
Novamente, essa última desigualdade é válida sob a hipótese
Passo 4
Com essa ferramenta em mãos, definimos a sequência
Passo 5
Note que
está em
. Suponha agora, por indução, que
. Pelo resultado anterior, temos
Isso mostra dois pontos importantes:
- A sequência é estritamente crescente, pois
- É limitada superiormente por 2, pois
Como qualquer sequência que é monótona (aqui, crescente) e limitada (aqui, acima por 2) converge, concluímos que
Resposta
A sequência dada é estritamente crescente e fica sempre abaixo de 2, logo é monótona e limitada. Pelo teorema de convergência de sequências monotônicas, ela converge.