Se 0 <= a <= 2, mostre que a. Usando este fato, prove que a sequência raiz2, raiz2 raiz2, raiz2 raiz2 raiz2 é monótona limitada, e portanto convergente.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, para qualquer número real a com 0<= a<=2, vale a desigualdade a. Em seguida, usando esse fato, devemos provar que a sequência definida por x1=raiz2 e xn+1=raiz2xn é monótona (mais precisamente, estritamente crescente) e bounded, o que garante sua convergência pelo teorema da convergência de sequências monotônicas.

Passo 2

Primeiro, provamos a parte a. Como a>=0, podemos elevar ao quadrado sem inverter a desigualdade. Assim, a é equivalente a
a^2<2a
Reescrevendo,
a^2-2a<0Long<=ftrightarrow a(a-2)<0
E isso ocorre sempre que 0<= a<2, exatamente nossa hipótese. Portanto, fica demonstrado que a quando 0<= a<2.

Passo 3

Agora, provamos raiz2a<2. Como ambos os lados são não-negativos, elevamos ao quadrado:
2a<4Long<=ftrightarrow a<2
Novamente, essa última desigualdade é válida sob a hipótese a<=2 (mais precisamente para a<2, mas no caso a=2 temos raiz2cdot2=2 e a desigualdade estrita falha só nesse ponto extremo, o que não prejudica o uso para a sequência abaixo).

Passo 4

Com essa ferramenta em mãos, definimos a sequência
x1=raiz2, xn+1=raiz2xn

Passo 5

Note que x1=raiz2approx1.414 está em [0,2]. Suponha agora, por indução, que 0. Pelo resultado anterior, temos
xn
Isso mostra dois pontos importantes:
- A sequência é estritamente crescente, pois xn para todo n.
- É limitada superiormente por 2, pois xn+1<2 para todo n.
Como qualquer sequência que é monótona (aqui, crescente) e limitada (aqui, acima por 2) converge, concluímos que (xn) é convergente.

Resposta

A sequência dada é estritamente crescente e fica sempre abaixo de 2, logo é monótona e limitada. Pelo teorema de convergência de sequências monotônicas, ela converge.

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