Calcular as integrais seguintes:
integral0^1 x(x+1)^2(x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 x(x+1)^2(x^2+1),dx
O conteúdo principal é integração via frações parciais, então vamos decompor o integrando em termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais
x(x+1)^2(x^2+1)=Ax+1+B(x+1)^2+Cx+Dx^2+1
Multiplicando tudo por (x+1)^2(x^2+1) e igualando coeficientes obtemos o sistema
A+C=0, A+B+2C+D=0, A+C+2D=1, A+B+D=0
Dessa forma achamos A=0, C=0, D=tfrac12 e B=-tfrac12. Logo
x(x+1)^2(x^2+1)=-tfrac121(x+1)^2+tfrac121x^2+1

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1-tfrac12dx(x+1)^2=-tfrac12l[-1x+1r]0^1=-14,
integral0^1tfrac12dxx^2+1=tfrac12[arctan(x)]0^1=pi8

Passo 4

Somando as duas partes obtemos
-14+pi8=pi8-14=pi-28

Resposta

pi8-14

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