Calcular as integrais seguintes:
integral0^1 3 x^2-x+11(4+x^2)^2 dx

Passo 1

Estamos calculando a integral definida de uma função racional de grau 2 sobre (x^2+4)^2. O conteúdo envolve decomposição em frações parciais e o uso de primitivas conhecidas para integral!dx/(x^2+a^2) e integral!dx/(x^2+a^2)^2.

Passo 2

Decompomos a função em frações parciais:
3x^2 - x + 11(x^2+4)^2 = Ax+Bx^2+4 + Cx+D(x^2+4)^2
Multiplicando por (x^2+4)^2 e igualando coeficientes de x^3,x^2,x, e termo constante, obtemos A=0,B=3,C=-1,D=-1. Logo
3x^2 - x + 11(x^2+4)^2 = 3x^2+4 - x+1(x^2+4)^2

Passo 3

Agora dividimos em três integrais:
integral0^1 3x^2+4,dx , - integral0^1 x(x^2+4)^2,dx , - integral0^1 1(x^2+4)^2,dx
  1. Para (\int 3/(x^2+4),dx = \frac{3}{2}\arctan\bigl(x/2\bigr).
  2. Em integral x/(x^2+4)^2,dx, use u = x^2+4 e du=2x,dx, encontrando
integral x(x^2+4)^2,dx = -12(x^2+4)
  1. Para integral 1/(x^2+4)^2,dx usamos a fórmula
integral dx(x^2+a^2)^2 = x2a^2(x^2+a^2) + 12a^3arctanl( xar),
com a=2, resultando
integral dx(x^2+4)^2 = x8(x^2+4) + 116arctanl( x2r)

Passo 4

Somando os resultados e simplificando a antiderivada geral, temos
F(x) = 2316arctanl( x2r) + 4 - x8(x^2+4)
Finalmente, avaliamos de 0 a 1:
F(1)-F(0) = 2316arctanl(12r) + 340 - 18 = 2316arctanl(12r) - 120

Resposta

2316arctanl(tfrac12r) - 120

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