Calcule as integrais:
integral0^pi cos ^4(x) d x

Passo 1

Estamos calculando a integral definida de coseno à quarta potência no intervalo de 0 a π: integral0^pi cos^4(x),dx. Vamos usar o conteúdo de redução de potências de função trigonométrica para resolver.

Passo 2

Lembramos que a fórmula de redução de potência para cos^2(x) é
cos^2(x)=1+cos(2x)2
Para chegar em cos^4(x), elevamos essa expressão ao quadrado:

Passo 3

cos^4(x)=gl(1+cos(2x)2gr)^2=1+2cos(2x)+cos^2(2x)4
Em seguida, aplicamos de novo a redução em cos^2(2x):

Passo 4

cos^2(2x)=1+cos(4x)2
Substituindo na expressão de cos^4(x):

Passo 5

cos^4(x)=1+2cos(2x)+tfrac1+cos(4x)24 =3+4cos(2x)+cos(4x)8

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integralcos^4(x),dx =integral3+4cos(2x)+cos(4x)8,dx =38integral dx+48integralcos(2x),dx+18integralcos(4x),dx

Passo 7

Calculamos cada integral:
Para integral dx=x+ C.
Para integralcos(2x),dx=tfrac12sin(2x)+ C.
Para integralcos(4x),dx=tfrac14sin(4x)+ C.
Logo:

Passo 8

integralcos^4(x),dx =38x+48cdot12sin(2x)+18cdot14sin(4x)+C =38x+14sin(2x)+132sin(4x)+C

Passo 9

Agora aplicamos os limites de 0 a π:
Em x=pi:
38pi+14sin(2pi)+132sin(4pi)=3pi8+0+0=3pi8
Em x=0: todos os termos seno e o termo x são zero.
Subtraindo, obtemos tfrac3pi8-0=tfrac3pi8.

Resposta

3pi8

Exercícios relacionados