Determine a derivada das funções:
g(t)=\frac{e{t}-e{-t}}{e{t}+e{-t}}’

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a derivada de g(t)= e^t-e^-te^t+e^-t. O conteúdo é derivadas de funções e vamos usar a regra do quociente, além de saber derivar exponenciais.

Passo 2

Identificamos o numerador u(t)= e^t-e^-t e o denominador v(t)= e^t+e^-t. Derivamos cada um:
Derivada do numerador:
u'(t)=ddt(e^t-e^-t)=e^t+e^-t
Derivada do denominador:
v'(t)=ddt(e^t+e^-t)=e^t-e^-t

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
g'(t)=u'(t),v(t)-u(t),v'(t)[v(t)]^2=(e^t+e^-t)(e^t+e^-t)-(e^t-e^-t)(e^t-e^-t)(e^t+e^-t)^2

Passo 4

Simplificamos o numerador usando a identidade (A+B)^2-(A-B)^2=4AB com A=e^t e B=e^{-t}:
(e^t+e^-t)^2-(e^t-e^-t)^2=4e^te^-t=4

Passo 5

Logo,
g'(t)=4(e^t+e^-t)^2

Resposta

g’(t) = 4(e^t+e^-t)^2, que equivale a sech^2(t).

Exercícios relacionados