Calcular as integrais seguintes:
integral0^1 xraizx+1 d x

Passo 1

Nessa questão queremos calcular a integral definida
integral0^1 xraizx+1 , dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para integrar funções que envolvem compostas e raízes.

Passo 2

Para simplificar, definimos u = x + 1. Dessa forma fica mais fácil: x = u - 1 e dx = du. Os limites de integração mudam conforme x=0to u=1 e x=1to u=2.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral0^1 xraizx+1 , dx = integral1^2 u-1raizu , du
Podemos reescrever o integrando usando potências: u-1raizu = u^1/2 - u^-1/2

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potências para integrais:
integral u^n , du = u^n+1n+1
Então
integral u^1/2 , du = 23u^3/2, integral u^-1/2 , du = 2u^1/2

Passo 5

Avaliando de u=1 a u=2:
[
\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2} - 2u{1/2}\Bigr]_{1}{2}
= \bigl(\tfrac{2}{3}\cdot2^{3/2} - 2\cdot2^{1/2}\bigr) - \bigl(\tfrac{2}{3}\cdot1^{3/2} - 2\cdot1^{1/2}\bigr)
= -\tfrac{2\sqrt{2}}{3} + \tfrac{4}{3}

Passo 6

Por fim, fatorando 1/3 do resultado, obtemos a forma simplificada
4 - 2raiz23

Resposta

4 - 2raiz23

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