Calcular as integrais seguintes:
Passo 1
Nessa questão queremos calcular a integral definida
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para integrar funções que envolvem compostas e raízes.
Passo 2
Para simplificar, definimos
. Dessa forma fica mais fácil:
e
. Os limites de integração mudam conforme
e
.
Passo 3
Substituindo na integral original, temos
Podemos reescrever o integrando usando potências:
Passo 4
Agora aplicamos a regra de potências para integrais:
Então
Passo 5
Avaliando de
a
:
[
\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2} - 2u{1/2}\Bigr]_{1}{2}
= \bigl(\tfrac{2}{3}\cdot2^{3/2} - 2\cdot2^{1/2}\bigr) - \bigl(\tfrac{2}{3}\cdot1^{3/2} - 2\cdot1^{1/2}\bigr)
= -\tfrac{2\sqrt{2}}{3} + \tfrac{4}{3}
\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2} - 2u{1/2}\Bigr]_{1}{2}
= \bigl(\tfrac{2}{3}\cdot2^{3/2} - 2\cdot2^{1/2}\bigr) - \bigl(\tfrac{2}{3}\cdot1^{3/2} - 2\cdot1^{1/2}\bigr)
= -\tfrac{2\sqrt{2}}{3} + \tfrac{4}{3}
Passo 6
Por fim, fatorando
do resultado, obtemos a forma simplificada