Use o método da indução finita para provar as seguintes relações:
n=0 (O ponto de partida é por )

Passo 1

Neste exercício, vamos usar o princípio da indução finita para provar que
[(1+x)(1+x2)(1+x4)\cdots(1+x{2n})=\frac{1-x{2{n+1}}}{1-x}.
O conteúdo aqui é indução matemática aliado à fatoração de diferença de quadrados, e precisaremos verificar o caso base e o passo indutivo.

Passo 2

Verificamos o caso base para n=0. A expressão do lado esquerdo fica apenas a primeira parcela:
(1+x)
E o lado direito é
1-x^2^0+11-x=1-x^21-x
Como 1-x^2=(1-x)(1+x), temos
1-x^21-x=1+x,
logo ambos os lados coincidem.

Passo 3

Suponhamos agora que a fórmula seja válida para um n=k, ou seja, assumimos como hipótese indutiva:
$$(1+x)(1+x2)\cdots(1+x{2k})=\frac{1-x{2^{k+1}}}{1-x}.
$$

Passo 4

No passo indutivo, multiplicamos ambos os lados da hipótese por 1+x^2^k+1 para chegar em n=k+1:
(1+x)(1+x^2)cdots(1+x^2^k),(1+x^2^k+1) =1-x^2^k+11-x,(1+x^2^k+1)
Usamos agora a identidade de diferença de quadrados (1-a)(1+a)=1-a^2 com a=x^2^k+1:
1-x^2^k+11-x,(1+x^2^k+1) =1-(x^2^k+1)^21-x =1-x^2^k+21-x,
que é exatamente a fórmula para n=k+1. Assim, o passo indutivo está completo.

Resposta

Portanto, por indução finita, para todo inteiro n>=0 vale
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)cdots(1+x^2^n)=1-x^2^n+11-x

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