Use o método da indução finita para provar as seguintes relações:
(O ponto de partida é por
)
Passo 1
Neste exercício, vamos usar o princípio da indução finita para provar que
[(1+x)(1+x2)(1+x4)\cdots(1+x{2n})=\frac{1-x{2{n+1}}}{1-x}.
O conteúdo aqui é indução matemática aliado à fatoração de diferença de quadrados, e precisaremos verificar o caso base e o passo indutivo.
O conteúdo aqui é indução matemática aliado à fatoração de diferença de quadrados, e precisaremos verificar o caso base e o passo indutivo.
Passo 2
Verificamos o caso base para
. A expressão do lado esquerdo fica apenas a primeira parcela:
E o lado direito é
Como
, temos
logo ambos os lados coincidem.
Passo 3
Suponhamos agora que a fórmula seja válida para um
, ou seja, assumimos como hipótese indutiva:
$$(1+x)(1+x2)\cdots(1+x{2k})=\frac{1-x{2^{k+1}}}{1-x}.
$$
Passo 4
No passo indutivo, multiplicamos ambos os lados da hipótese por
para chegar em
:
Usamos agora a identidade de diferença de quadrados
com
:
que é exatamente a fórmula para
. Assim, o passo indutivo está completo.
Resposta
Portanto, por indução finita, para todo inteiro
vale