Calcular as integrais seguintes:
integral1^2 -1raiz4 x-x^2 d x

Passo 1

Temos que calcular a integral definida de 1 a 2 de -1/raiz4x - x^2 dx. O conteúdo envolve integrais de funções com raiz quadrada do tipo raiza^2 - (x - b)^2, e vamos usar completar o quadrado e mudança de variável para chegar na forma de arco seno.

Passo 2

Começamos completando o quadrado dentro da raiz. Observamos que
4x - x^2 = -(x^2 - 4x) = 4 - (x - 2)^2
Logo a integral vira
integral1^2 -1raiz4 - (x - 2)^2,dx

Passo 3

Fazemos a substituição u = x - 2, então du = dx. Os limites mudam assim: quando x=1, u=-1; e quando x=2, u=0. A integral fica
integralu=-1^0 -1raiz4 - u^2,du

Passo 4

Para integrar usamos a fórmula de arco seno:
integral duraiza^2 - u^2 = arcsinl(tfracuar) + C,
onde a=2. Como temos o sinal negativo, a antiderivada é
-arcsinl(tfracu2r) + C

Passo 5

Agora avaliamos essa expressão de u=-1 até u=0:
l[-arcsin(0/2)r] - l[-arcsin((-1)/2)r] = -arcsin(0) + arcsin(-tfrac12) = 0 + l(-tfracpi6r) = -tfracpi6

Resposta

-tfracpi6

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