Calcular as integrais seguintes:
integral1 / 2^2 1x raiz1-ln ^2 x d x sur ] 1 / e, e[

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral1/2^21xraiz1-(ln x)^2,dx. O conteúdo principal é usar a substituição t=ln x e reconhecer que integral!dt/raiz1-t^2=arcsin(t)+C.

Passo 2

Vamos fazer a substituição t=ln x. Daí dt=1xdx, logo
1xraiz1-(ln x)^2,dx=1raiz1-t^2,dt

Passo 3

Precisamos ajustar os limites: para x=1/2, t=ln(1/2)=-ln2; para x=2, t=ln2. A integral fica
integral-ln2^ln21raiz1-t^2,dt

Passo 4

Reconhecemos que a primitiva de 1/raiz1-t^2 é arcsin(t). Então
integral-ln2^ln21raiz1-t^2,dt=l[arcsin(t)r]-ln2^ln2=arcsin(ln2)-arcsin(-ln2)

Passo 5

Como arcsin(-u)=-arcsin(u), temos arcsin(ln2)-(-arcsin(ln2))=2arcsin(ln2).

Resposta

2,\arcsin(\ln2)

Exercícios relacionados