Calcular as integrais seguintes :
integral1^2 2+cos xraiz2 x+sen x+1 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral
integral1^2 2+cos xraiz2x+sin x+1,dx
Estamos no conteúdo de método de substituição em integrais, pois o numerador parece ser a derivada do que está dentro da raiz, então vamos usar isso a nosso favor.

Passo 2

Vamos definir a substituição
u = 2x + sin x + 1
Porque ao derivar obtemos
du = (2 + cos x),dx
Exatamente o numerador da nossa integral. Essa escolha simplifica totalmente o integrando.

Passo 3

Com a substituição, a integral passa a ser em termos de u. Precisamos também trocar os limites de integração:
Para x=1:
u(1) = 2cdot1 + sin1 + 1 = 3 + sin1
Para x=2:
nu(2) = 2cdot2 + sin2 + 1 = 5 + sin2
Então a integral fica
integral,x=1^x=2 2+cos xraiz2x+sin x+1,dx = integral,u=3+sin1^u=5+sin2 duraizu

Passo 4

Agora integramos u^-1/2. Sabendo que
integral u^-1/2,du = 2u^1/2 + C,
temos
integral3+sin1^5+sin2 u^-1/2,du = l[2u^1/2r]3+sin1^5+sin2

Passo 5

Substituindo os limites, obtemos
2raiz5+sin2 ;- 2raiz3+sin1

Passo 6

Portanto, chegamos à forma final da integral.

Passo 7

Resposta

2\bigl(\sqrt{5+\sin2}-\sqrt{3+\sin1},)

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