Questão 2. (2,5 pontos)

Considere a função w=sin (x y), onde:
x & =e^t y & =ln (t+1)
a) Monte o esquema da árvore usando a regra da cadeia para estruturar d wd t.
b) Calcule partial wpartial x, partial wpartial y, d xd t e d yd t.
c) Calcule a derivada d wd t em t=0.

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da cadeia para obter dw/dt sabendo que w=sin(xy) com x=e^t e y=ln(t+1). O conteúdo é derivação de função composta de várias variáveis, e vamos precisar de derivadas parciais de w em relação a x e y, além de dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Montamos o esquema da árvore da seguinte forma, mostrando a dependência de t em x e y e depois em w:
t ;longrightarrow; x = e^t y = ln(t+1) ;longrightarrow; w = sin(xy)
E a regra da cadeia generalizada dita que:
dwdt = partial wpartial xdxdt + partial wpartial ydydt

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de w:
partial wpartial x = cos(xy) cdot y,
partial wpartial y = cos(xy) cdot x

Passo 4

Em seguida, derivamos x e y em relação a t:
dxdt = ddt(e^t) = e^t,
dydt = ddtl(ln(t+1)r) = 1t+1

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula da cadeia:
dwdt = cos(xy),y,e^t + cos(xy),x,1t+1 = cos(xy)l(y,e^t + xt+1r)

Passo 6

Para t=0 temos:
x(0)=e^0=1,
y(0)=ln(1)=0,
cosl(x(0)y(0)r)=cos(0)=1
Logo,
dwdt|t=0 = 1l(0cdot1 + 11r) = 1

Resposta

dwdt|t=0 = 1

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