Questão 1. (2,5 pontos)
Considere a função vetorial
, que retrata uma circunferência de raio
, com
. a) Calcule vetor velocidade
.
b) Calcule o vetor tangente
.
c) Calcule o vetor normal
.
d) Verifique que o produto escalar
.
e) (BÔNUS) ( 0,5 ponto) Acrescentando agora a seguinte componente vertical em
modifica a curva de que maneira?
b) Calcule o vetor tangente
c) Calcule o vetor normal
d) Verifique que o produto escalar
e) (BÔNUS) ( 0,5 ponto) Acrescentando agora a seguinte componente vertical em
Passo 1
O enunciado apresenta a curva vetorial
que descreve uma circunferência de raio
no plano
, com
variando de
a
. Precisamos aplicar conceitos de derivada vetorial (para velocidade), norma (para obter o vetor unitário tangente), derivada do tangente (para o normal) e conferir ortogonalidade pelo produto escalar. Por fim, entender o efeito de adicionar a componente
.
Passo 2
Para encontrar o vetor velocidade definimos
. Derivando cada componente de acordo com
:
Passo 3
O vetor tangente unitário
é dado por
. Calculamos primeiro a velocidade escalar:
Logo,
Passo 4
O vetor normal principal
é o vetor unitário na direção de
. Primeiro derivamos
:
Como
, temos
Passo 5
Para verificar a ortogonalidade, calculamos
mostrando que
e
são de fato perpendiculares.
Passo 6
Quando acrescentamos a componente
passando a ter
, a curva deixa de ser planar e se torna uma hélice com raio
e passo constante, subindo à medida que
cresce.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) A curva deixa de ser a circunferência plana e passa a ser uma hélice de raio , avançando na direção
à medida que
cresce.
b)
c)
d)
e) A curva deixa de ser a circunferência plana e passa a ser uma hélice de raio