Questão 1. (2,5 pontos)

Considere a função vetorial r=a cos t i+a sin t j, que retrata uma circunferência de raio a, com 0 <= t <= 2 pi. a) Calcule vetor velocidade v(t).
b) Calcule o vetor tangente T.
c) Calcule o vetor normal N.
d) Verifique que o produto escalar T cdot N=0.
e) (BÔNUS) ( 0,5 ponto) Acrescentando agora a seguinte componente vertical em r= a cos t i+a sin t j+t k modifica a curva de que maneira?

Passo 1

O enunciado apresenta a curva vetorial vec r(t)=acos t,hat i + asin t,hat j que descreve uma circunferência de raio a no plano xy, com t variando de 0 a 2pi. Precisamos aplicar conceitos de derivada vetorial (para velocidade), norma (para obter o vetor unitário tangente), deriva­da do tangente (para o normal) e conferir ortogonalidade pelo produto escalar. Por fim, entender o efeito de adicionar a componente that k.

Passo 2

Para encontrar o vetor velocidade definimos vec v(t)=dfracdvec rdt. Derivando cada componente de acordo com t:
vec v(t)=ddtl(acos tr),hat i + ddtl(asin tr),hat j = -asin t,hat i + acos t,hat j

Passo 3

O vetor tangente unitário vec T é dado por vec T=vec v/|vec v|. Calculamos primeiro a velocidade escalar:
|vec v(t)|=raiz(-asin t)^2+(acos t)^2=araizsin^2t+cos^2t=a
Logo,
vec T(t)=-asin t,hat i + acos t,hat ja=-sin t,hat i+cos t,hat j

Passo 4

O vetor normal principal vec N é o vetor unitário na direção de dvec T/dt. Primeiro derivamos vec T:
dvec Tdt = -cos t,hat i - sin t,hat j
Como |-cos t,hat i - sin t,hat j|=raizcos^2t+sin^2t=1, temos
vec N(t) = -cos t,hat i - sin t,hat j

Passo 5

Para verificar a ortogonalidade, calculamos
vec T(t)cdotvec N(t)=(-sin t)(-cos t)+(cos t)(-sin t)=sin tcos t-cos tsin t=0,
mostrando que vec T e vec N são de fato perpendiculares.

Passo 6

Quando acrescentamos a componente that k passando a ter
vec r(t)=acos t,hat i + asin t,hat j + t,hat k, a curva deixa de ser planar e se torna uma hélice com raio a e passo constante, subindo à medida que t cresce.

Resposta

a) vec v(t)=-asin t,hat i + acos t,hat j
b) vec T(t)=-sin t,hat i + cos t,hat j
c) vec N(t)=-cos t,hat i - sin t,hat j
d) vec Tcdotvec N=0
e) A curva deixa de ser a circunferência plana e passa a ser uma hélice de raio a, avançando na direção hat k à medida que t cresce.

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