Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral raiz3 t^4+t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raiz3t^4+t^2,dt
usando o método da substituição. Vamos precisar reconhecer uma forma que permita isolar uma expressão simples em t,dt.

Passo 2

Dentro da raiz temos
3t^4+t^2 = t^2(3t^2+1),
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raiz3t^4+t^2 = raizt^2,raiz3t^2+1 = |t|raiz3t^2+1
Para simplificar, assumimos t>=0, de modo que |t|=t. Assim a integral vira
integral traiz3t^2+1,dt

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 3t^2+1 Longrightarrow du = 6t,dt Longrightarrow t,dt = du6

Passo 4

Reescrevendo em termos de u:
integral traiz3t^2+1,dt = integral raizu,du6 = 16integral u^1/2,du

Passo 5

Integramos em u:
16integral u^1/2,du = 16cdot u^3/2tfrac32 + C = 16cdot 23,u^3/2 + C = 19,u^3/2 + C

Passo 6

Voltando a t:
19,u^3/2 + C = 19,(3t^2+1)^3/2 + C

Resposta

integral raiz3t^4+t^2,dt = (3t^2+1)^3/29 + C

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