Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral raizx^2+2 x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral raizx^2 + 2x^4,dx
O conteúdo principal aqui é o método da substituição, mas antes de tudo vamos simplificar o integrando.

Passo 2

Note que
raizx^2 + 2x^4 = raizx^2(1 + 2x^2) = |x|raiz1 + 2x^2
Para focar na técnica, assumimos inicialmente x>=0, de modo que |x|=x. Então a integral vira
integral xraiz1 + 2x^2,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 1 + 2x^2, du = 4x,dx Longrightarrow x,dx = du4

Passo 4

Substituindo em integral xraiz1 + 2x^2,dx, obtemos
integral xraiz1 + 2x^2,dx = integral raizu,du4 = 14integral u^1/2,du

Passo 5

Integramos em u:
14integral u^1/2,du = 14cdotu^3/2tfrac32 = 14cdot23u^3/2 = 16u^3/2
Voltando a x, isso dá 16(1+2x^2)^3/2.

Resposta

integral raizx^2 + 2x^4,dx = 16l(1 + 2x^2r)^3/2 + C

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