Calcule as integrais definidas usando o T.F.C.
integral0^1 x(2 x^2-1)^9 dx

Passo 1

No primeiro passo, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de 0 a 1 da função x(2 x^2-1)^9 . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) e a técnica de substituição, que facilita o cálculo de integrais mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando que 2x^2 - 1 está elevando à nona potência e multiplicado por x, podemos escolher:
u = 2x^2 - 1
Isso nos ajudará a transformar a integral em uma forma mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para expressar dx em termos de du:
dudx = 4x
du = 4x , dx
Isso significa que:
x , dx = du4

Passo 4

Substituímos u e x,dx na integral original:
integral0^1 x(2 x^2-1)^9 , dx = integralu(0)^u(1) u^9 cdot du4
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando x = 0:
u = 2(0)^2 - 1 = -1
E quando x = 1:
u = 2(1)^2 - 1 = 1
Então, a integral fica:
14 integral-1^1 u^9 , du

Passo 5

Vamos calcular a integral de u^9 em relação a u:
integral u^9 , du = u^1010 + C
Como estamos lidando com uma integral definida, podemos ignorar a constante C.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de -1 a 1:
14 [ 1^1010 - (-1)^1010 ]
Como (-1)^10 = 1, temos:
14 [ 110 - 110 ] = 14 cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral definida integral0^1 x(2 x^2-1)^9 , dx é igual a 0.

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