Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral 2 sec ^2 thetaa+b tg theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2 sec^2thetaa + b tantheta,dtheta
usando o método da substituição. Aqui o conteúdo é identificar uma parte da integranda cuja derivada (ou múltiplo dela) esteja presente, para simplificar em termos de uma nova variável.

Passo 2

Observamos que o denominador é a + b tantheta e que a derivada de tantheta é sec^2theta. Então fazemos a substituição
u = a + b tantheta
Diferenciando ambos os lados, temos
du = b sec^2theta,dtheta Longrightarrow sec^2theta,dtheta = dub

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u. Note que
2 sec^2theta,dtheta = 2 cdot dub = 2b,du
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integral 2 sec^2thetaa + b tantheta,dtheta = integral tfrac2b,duu = 2b integral duu

Passo 4

A integral de 1/u é o logaritmo natural. Assim
2b integral duu = 2b lnl|ur| + C
Voltando à variável original, u = a + b tantheta, obtemos
2b lnl|a + b tanthetar| + C

Resposta

integral 2 sec^2thetaa + b tantheta,dtheta = 2blnl|a + b tanthetar| + C

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