Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral 3 d xx^2-4 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3,dxx^2-4x+1
usando o método da substituição. Vamos precisar completar o quadrado no denominador e, em seguida, usar a fórmula padrão para
integral dtt^2-a^2.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em
,x^2-4x+1:
x^2-4x+1 = (x-2)^2-4+1 = (x-2)^2-3

Passo 3

Fazemos a substituição
t = x-2, dt = dx
A integral fica
3integral dxx^2-4x+1 =3integral dtt^2-3

Passo 4

Reconhecemos o padrão
integral dtt^2-a^2 = 12a,lnl|t - at + ar| + C,
com a=raiz3. Assim,
integral dtt^2-3 = 12raiz3 lnl|t-raiz3t+raiz3r| + C

Passo 5

Multiplicando por 3 e voltando à variável x ( t = x-2), obtemos
3integral dtt^2-3 = 32raiz3 lnl|t-raiz3t+raiz3r| + C = raiz32 lnl|x-2-raiz3x-2+raiz3r| + C

Resposta

raiz32,lnl|x-2-raiz3x-2+raiz3r| + C

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