Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral raizx+3x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raizx+3x-1,dx
usando o método da substituição. Aqui vamos combinar uma substituição que transforme a raiz em uma variável t, e depois integrar uma função racional em t.

Passo 2

Escolhemos
t = raizx+3,
para que t^2 = x+3 e, então,
x = t^2 - 3, dx = 2t,dt
Além disso, o denominador vira
x-1 = (t^2-3)-1 = t^2 - 4

Passo 3

Substituindo tudo na integral, o numerador raizx+3,dx torna-se tcdot(2t,dt)=2t^2,dt e o denominador é t^2-4. Logo,
integral raizx+3x-1,dx = integral 2t^2t^2-4,dt

Passo 4

Fazemos divisão polinomial em t:
2t^2t^2-4 = 2 + 8t^2-4,
pois 2t^2 = 2(t^2-4) + 8. Assim,
integral 2t^2t^2-4,dt = integral 2,dt + 8integral 1t^2-4,dt = 2t + 8integral 1t^2-2^2,dt
E sabemos que
integral 1t^2-2^2,dt = 14lngl|t-2t+2gr|
Portanto,
2t + 8cdot14lngl|t-2t+2gr| = 2t + 2lngl|t-2t+2gr| + C

Passo 5

Voltando à variável x pela relação t=raizx+3, obtemos
integral raizx+3x-1,dx = 2raizx+3 ;+; 2ln!gl|raizx+3-2raizx+3+2gr| + C

Resposta

2raizx+3 ;+; 2ln!gl|raizx+3-2raizx+3+2gr| + C

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