Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral 2 sen x-5 cos xcos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 2sin x - 5cos xcos x,dx
usando o método da substituição. Vamos aplicar integração por substituição para transformar parte da integral numa forma que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando:
2sin x - 5cos xcos x =2,sin xcos x-5,cos xcos x =2tan x -5
Logo,
integral 2sin x -5cos xcos x,dx =integral l(2tan x -5r),dx

Passo 3

Para a parte integral 2tan x,dx, fazemos a substituição
u = cos x Longrightarrow du = -sin x,dx
Como tan x = dfracsin xcos x, temos
2tan x,dx =2,sin xcos x,dx =2,-duu =-2,duu
Portanto,
integral 2tan x,dx =-2integral duu =-2lnl|ur| =-2lnl|cos xr|

Passo 4

Para a parte integral -5,dx, usamos a regra básica:
integral -5,dx = -5x

Resposta

Combinando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
integral 2sin x -5cos xcos x,dx =-2lnl|cos xr|-5x + C

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