Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral d x16+x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral dx16+x^2 usando o método da substituição. Esse tipo de integral se encaixa na forma integral dxa^2+x^2, cuja primitiva é 1aarctan!l(tfrac xar). Para reproduzir esse resultado via substituição, vamos definir uma nova variável que simplifique 16+x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x4,
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x = 4u e dx = 4,du
Além disso,
16 + x^2 = 16 + (4u)^2 = 16,(1+u^2)

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral dx16 + x^2 = integral 4,du16,(1+u^2) = 416integral du1+u^2 = 14integral du1+u^2

Passo 4

Sabemos que
integral du1+u^2 = arctan(u) + C
Portanto,
14integral du1+u^2 = 14,arctan(u) + C

Passo 5

Voltando à variável x pela relação u=tfracx4, a primitiva final é
14,arctan!l(x4r) + C

Resposta

14,arctan!l(x4r) + C

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