Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral e^x d xe^2 x+16

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
integral e^xe^2x+16,dx.
O conteúdo envolvido é o método da substituição e, em seguida, a aplicação da fórmula da integral de tfrac1u^2+a^2, que resulta em arcotangente.

Passo 2

Definimos
u = e^x
para simplificar a expressão. Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = e^x,dx
Isso mostra que o numerador e^x,dx pode ser substituído diretamente por du.

Passo 3

Substituindo u = e^x e du = e^x,dx na integral original, ela se transforma em
integral duu^2 + 16

Passo 4

Para calcular
integral duu^2 + 16
lembremos a fórmula geral
integral duu^2 + a^2 = 1a,arctan!l(uar) + C
Aqui temos a^2 = 16, ou seja, a = 4. Logo,
integral duu^2 + 16 = 14,arctan!l(u4r) + C

Passo 5

Voltando à variável original x, fazemos u = e^x. Assim, a antiderivada fica
14,arctan!l(tfrace^x4r) + C

Resposta

14,arctan!l(tfrace^x4r) + C

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