Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral 4 t d traiz4 t^2+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 4,traiz4t^2+5;dt
usando o método da substituição. Vamos identificar uma mudança de variável que torne essa integral mais simples.

Passo 2

Perceba que dentro da raiz temos 4t^2+5 e no numerador aparece t,dt. Isso sugere a substituição
u = 4t^2 + 5,
pois sua diferencial vai envolver exatamente t,dt.

Passo 3

Derivando u em relação a t, temos
du = 8,t,dt Longrightarrow 4,t,dt = du2
Substituindo na integral original, vem
integral 4,traiz4t^2+5;dt = integral 1raizu;du2 = 12,integral u^-1/2;du

Passo 4

Agora basta integrar em u:
12,integral u^-1/2;du = 12cdotu^1/2tfrac12 + C = u^1/2 + C
Desfazendo a substituição u = 4t^2 + 5, obtemos
raiz4t^2 + 5 + C

Resposta

raiz4t^2 + 5 + C

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