Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
\int \operatorname{tg} x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral
\displaystyle \int \tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
O conteúdo aplicado aqui é o método de substituição, que consiste em identificar uma parte da integral cuja derivada aparece multiplicada no integrando.

Passo 2

Observamos que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Portanto, fazemos a substituição
u = \tan x
e, em seguida,
du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx
Com isso, a integral original se transforma em
\int u\,du

Passo 3

Agora basta integrar em u:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C
Voltando à variável x, temos
\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{\tan^{2}x}{2} + C

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{2}x}{2} + C

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