Calcule a integral iterada
integral0^1 integral0^x^2(x+2 y) d y d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral iterada sobre a região definida por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x² do integrando (x + 2y). O conteúdo aqui é integração iterada (teorema de Fubini) e vamos precisar usar a linearidade da integral para separar termos e depois aplicar a regra de potência para polinômios.

Passo 2

Vamos primeiro fazer a integração interna em y, tratando x como constante. Temos de calcular
integral0^x^2(x + 2y),dy
Usamos a soma de integrais e a linearidade: integral(x+2y)dy = integral x,dy + integral 2y,dy.

Passo 3

Calculando cada parte: para x constante,
integral0^x^2x,dy = xl[yr]0^x^2 = xcdot x^2 = x^3,
e para 2y:
integral0^x^22y,dy = 2cdot y^22gr|0^x^2 = (x^2)^2 = x^4
Somando, a integral interna vale x^3 + x^4.

Passo 4

Agora integramos esse resultado em x de 0 a 1:
integral0^1(x^3 + x^4),dx = integral0^1x^3,dx + integral0^1x^4,dx
Usando a regra de potência, integral x^ndx = x^n+1/(n+1).

Passo 5

Aplicando a regra de potência:
integral0^1x^3,dx = x^44gr|0^1 = 14,
integral0^1x^4,dx = x^55gr|0^1 = 15
Somando os resultados: 14 + 15 = 5+420 = 920

Resposta

920

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