Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
integral sec ^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec^5x,dx
usando integração por partes. Vamos usar a estratégia de separar uma cópia de sec^2x (usada para obter uma função cuja primitiva conhecemos) e aplicar partes com o restante sec^3x. Também precisaremos da identidade
tan^2x = sec^2x - 1
e da primitiva de sec^3x.

Passo 2

Escrevemos
integral sec^5x,dx = integral sec^3x;sec^2x,dx
e fazemos a integração por partes escolhendo
u = sec^3x, dv = sec^2x,dx
Então
du = 3sec^3xtan x,dx, v = integral sec^2x,dx = tan x

Passo 3

Pela fórmula de partes,
integral u,dv = u,v - integral v,du
temos
integral sec^5x,dx = sec^3x;tan x ;-;integral tan x ,l(3sec^3xtan xr),dx = sec^3xtan x ;-;3integral sec^3x,tan^2x,dx
Agora usamos tan^2x=sec^2x-1:
integral sec^5x,dx = sec^3xtan x - 3integral sec^3x(sec^2x-1),dx = sec^3xtan x - 3integral sec^5x,dx + 3integral sec^3x,dx

Passo 4

Isolando integral sec^5x,dx, obtemos
integral sec^5x,dx + 3integral sec^5x,dx = sec^3xtan x + 3integral sec^3x,dx ;Longrightarrow; 4integral sec^5x,dx = sec^3xtan x + 3integral sec^3x,dx
Logo
integral sec^5x,dx = 14,sec^3xtan x ;+;34,integral sec^3x,dx

Passo 5

Falta calcular integral sec^3x,dx. Fazemos outra vez partes ou lembramos o resultado padrão:
integral sec^3x,dx = 12l(sec xtan x + lnlvert sec x + tan xrvertr)

Passo 6

Substituindo em integral sec^5x,dx:
integral sec^5x,dx = 14sec^3xtan x +34,12l(sec xtan x + lnlvert sec x + tan xrvertr) + C
Distribuindo e simplificando coeficientes:
integral sec^5x,dx = 14sec^3xtan x +38sec xtan x +38lnllvert sec x + tan xrrvert + C

Resposta

boxedintegral sec^5x,dx = 14sec^3xtan x + 38sec xtan x + 38lnllvert sec x + tan xrrvert + C

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