Cônicas e Quádricas
Determine a natureza da Quádrica
x^2-y^2-z^2-4 x+8 y-24=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a natureza da superfície quádricas dada por
x^2-y^2-z^2-4x+8y-24=0
O conteúdo é classificação de quádricas sem termos mistos, e vamos completar quadrados para obter a forma canônica.

Passo 2

Separe os termos quadráticos e lineares em x e y, deixando o termo em z isolado:
x^2-4x, -y^2+8y, -z^2
Agora, complete quadrados em x e y:
x^2-4x = (x-2)^2-4,
-y^2+8y = -l(y^2-8yr) = -(y-4)^2+16

Passo 3

Substituindo na equação original, temos
(x-2)^2-4 ;-;(y-4)^2+16 ;-;z^2;-;24 ;=;0
Somando as constantes, -4+16-24=-12, resulta
(x-2)^2 - (y-4)^2 - z^2 - 12 = 0 Longrightarrow (x-2)^2 - (y-4)^2 - z^2 = 12

Passo 4

Para chegar à forma canônica, divide-se ambos os lados por 12:
(x-2)^212 ;-;(y-4)^212 ;-;z^212 ;=;1

Passo 5

Na forma
(x-x0)^2a^2 -(y-y0)^2b^2 -(z-z0)^2c^2 =1,
com um coeficiente positivo e dois negativos à esquerda, temos um hiperbolóide de duas folhas. O centro é (2,4,0) e o eixo principal está paralelo ao eixo x.

Resposta

É um hiperbolóide de duas folhas, centrado em (2,4,0) e com eixo principal paralelo ao eixo x.

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