Determine se as seguintes séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^{n}}{(n+1) 9^{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^{n}}{(n+1)\,9^{2n+1}}
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Como os termos são positivos, basta verificar a convergência (isto é, convergência absoluta). Vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Escrevemos o termo geral de forma mais simples:
a_n = \frac{8^{n}}{(n+1)\,9^{2n+1}} =\frac{1}{9}\,\frac{8^n}{(n+1)\,(9^2)^n} =\frac{1}{9}\,\frac{\bigl(\tfrac{8}{81}\bigr)^n}{n+1}.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\frac{1}{9}\,\tfrac{\bigl(\tfrac{8}{81}\bigr)^{n+1}}{n+2}} {\frac{1}{9}\,\tfrac{\bigl(\tfrac{8}{81}\bigr)^n}{n+1}} =\frac{8}{81}\,\frac{n+1}{n+2},
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L=\lim_{n\to\infty}\frac{8}{81}\,\frac{n+1}{n+2} =\frac{8}{81}<1.

Passo 4

Como L<1, o Teste da Razão garante que a série converge. E sendo todos os termos positivos, ela é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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