Calcular as integrais seguintes usando substituição :
integral0^1 1(1+x^2)^2 d x (x=tan (u))

Passo 1

A integral que queremos calcular é integral0^1 1(1+x^2)^2,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição trigonométrica, especificamente usando x=tan(u).

Passo 2

Fazendo a substituição x=tan(u) temos dx=sec^2(u),du e a identidade trigonométrica 1+x^2=1+tan^2(u)=sec^2(u). Os limites mudam de x=0 para u=0 e de x=1 para u=arctan(1)=pi/4.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando e o diferencial ficam:
1(1+x^2)^2,dx=1sec^4(u)cdotsec^2(u),du=cos^4(u)cdotsec^2(u),du=cos^2(u),du
Portanto a integral vira integral0^1 1(1+x^2)^2,dx=integral0^pi/4cos^2(u),du.

Passo 4

Para integrar cos^2(u), usamos a fórmula de redução de potência:
cos^2(u)=1+cos(2u)2Assim a integral fica
integral0^pi/4cos^2(u),du=integral0^pi/41+cos(2u)2,du

Passo 5

Agora calculamos a integral em u:
integral1+cos(2u)2,du=12u+14sin(2u)+CAvaliando de 0 a pi/4 temos
l(12pi4+14sinl(2tfracpi4r)r)-l(0+14sin(0)r)=pi8+14

Resposta

integral0^1 1(1+x^2)^2,dx=pi8+14.

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